Wzór Herona

3:0 (100%)
Potrzebne nam będzie…


Twierdzenie o stycznych (TOS)



Odcinki dwóch stycznych poprowadzonych do okręgu z danego punktu zewnętrznego, wyznaczone przez ten punkt i odpowiednie punkty styczności są równe.





Wzór Herona



Pole trójkąta o bokach można obliczyć ze wzoru

, gdzie (połowa obwodu trójkąta)


Dowód 1



Weźmy trójkąt o bokach . Wpiszmy w ten trójkąt okrąg.



Pole tego trójkąta można wyrazić jako sumę pól trójkątów narysowanych częściowo przerywaną linią. Wszystkie te trójkąty mają wysokość równą promieniowi okręgu wpisanego.

1)


Musimy obliczyć promień okręgu wpisanego.

Przedłużmy boki i tego trójkąta i narysujmy okrąg styczny do tych przedłużeń i boku .



Z TOS wynika, że:






Zsumujmy te równości


Stąd

Oznaczmy teraz: i
Z TOS wynika, że


Również z TOS mamy:


Przy czym
Zatem:




Punkty leżą na dwusiecznej kąta (środki okręgów wpisanych w kąt leżą na dwusiecznej). Trójkąty i są podobne, bo mają wspólny kąt i są prostokątne. Można więc napisać proporcję:




Pozostało obliczenie .



jest dwusieczną kąta – dwusieczną kąta .





Co z tego wynika?
Wynika z tego podobieństwo trójkątów i . Napiszmy proporcję.

Stąd

Zatem

Stąd


Podstawmy to do wzoru 1)
Wykorzystajmy teraz równości 2).

Gotowe!

Dowód 2



Wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa.



Obliczmy wysokość – wyraźmy ją przez boki trójkąta wykorzystując twierdzenie Pitagorasa.



Należy rozwiązać ten układ równań.
1) Odejmujemy stronami równania 1) i 2).


2) Wykorzystajmy równanie 3)


Tworzymy układ równań z ostatniego równania i równania 3).



Podstawiamy to do równania 1).







Podstawiamy to do wzoru na pole trójkąta


Gotowe!

Podobne Następny

Nie jesteś zalogowany!

Inne materiały z tej kategorii

TESTY

Nie znaleziono żadnych materiałów.

ZADANIA

Nie znaleziono żadnych materiałów.

FILMY

Nie znaleziono żadnych materiałów.


Autorem "Wzór Herona" jest Sławomir Jemielity.
Zabrania się kopiowania, rozpowszechniania i udostępniania materiałów zawartych w Serwisie.

Serwis SOFIZMAT nie odpowiada za treść umieszczanych materiałów, grafik, komentarzy oraz wszelkich innych wpisów pochodzących od użytkowników serwisu.

Korzystanie z witryny www.SOFIZMAT.pl oznacza zgodę na wykorzystywanie
plików cookie, z których niektóre mogą być już zapisane w folderze przeglądarki.