Twierdzenie Ptolemeusza

0:0
Czworokąt jest wpisany w okrąg wtedy i tylko wtedy, kiedy iloczyn jego przekątnych jest równy sumie iloczynów przeciwległych boków:






Dowód





Na przekątnej zaznaczmy punkt . Nie byle jaki punkt tylko taki, że kąt i kąt będą równe.
Zwróćmy teraz baczną uwagę na trójkąty i . Twierdzę (na podstawie cechy kkk), że te trójkąty są podobne.

Po pierwsze (to było przed chwilą)
Po drugie (żółte kąty), bo są wpisane i oparte na tym samym łuku.

No to mamy podobieństwo. Wykorzystajmy je do napisania odpowiedniej proporcji (musimy się starać, by ta proporcja zawierała boki występujące w twierdzeniu).

Stąd wynika
1)

To oczywiście za mało, więc szukamy jeszcze innej pary trójkątów podobnych. Wybór pada na trójkąty: .



Są one podobne (cecha kkk), bo:

Po pierwsze i , czyli
Po drugie (kąty zielone), bo są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku.

Z podobieństwa wynika proporcja:

Stąd zaś
2)

Dodajmy teraz równości 1) i 2) stronami.


Zauważmy, że

Mamy więc:

A to jest właśnie to, co trzeba było udowodnić, czyli quod erat demonstrandum.

Podobne Następny

Nie jesteś zalogowany!

Inne materiały z tej kategorii

TESTY

Nie znaleziono żadnych materiałów.

ZADANIA

Nie znaleziono żadnych materiałów.

FILMY

Nie znaleziono żadnych materiałów.


Autorem "Twierdzenie Ptolemeusza" jest Sławomir Jemielity.
Zabrania się kopiowania, rozpowszechniania i udostępniania materiałów zawartych w Serwisie.

Serwis SOFIZMAT nie odpowiada za treść umieszczanych materiałów, grafik, komentarzy oraz wszelkich innych wpisów pochodzących od użytkowników serwisu.

Korzystanie z witryny www.SOFIZMAT.pl oznacza zgodę na wykorzystywanie
plików cookie, z których niektóre mogą być już zapisane w folderze przeglądarki.