Podzielność przez 3 i 9

0:0
Każdą liczbę w systemie dziesiętnym można zapisać następująco:



Przykład



Twierdzenie 1



Liczba dzieli się przez 3, wtedy i tylko wtedy, gdy suma cyfr tej liczby dzieli się przez 3.

Dowód



Twierdzenie to jest równoważnością. Dowodzimy je wobec tego w obie strony.

Załóżmy, że liczba dzieli się przez 3. Zapiszmy tę liczbę nieco inaczej.


Liczba

jest podzielna przez 3, bo każdy ze współczynników złożonych z dziewiątek dzieli się przez 3. Cała liczba też dzieli się przez 3 (z założenia), zatem również liczba

dzieli się przez 3. Oznacza to, że suma cyfr dzieli się przez 3.

Załóżmy teraz, że suma cyfr dzieli się przez 3.

Liczbę przedstawiamy jak poprzednio.


Podzieliliśmy liczbę na dwie części:
1)
2)


Pierwsza dzieli się przez 3. druga dzieli się przez 3 z założenia. Ich suma, czyli cała liczba, dzieli się więc przez 3. W ten sposób udowodniliśmy twierdzenie 1.


Twierdzenie 2.



Liczba dzieli się przez 9, wtedy i tylko wtedy, gdy suma cyfr tej liczby dzieli się przez 9.

Dowód



Możemy właściwie powtórzyć z niewielkimi zmianami dowód poprzedniego twierdzenia.

Podobne Następny

Nie jesteś zalogowany!

Inne materiały z tej kategorii

TESTY

Nie znaleziono żadnych materiałów.

ZADANIA

Nie znaleziono żadnych materiałów.

FILMY

Nie znaleziono żadnych materiałów.


Autorem "Podzielność przez 3 i 9" jest Sławomir Jemielity.
Zabrania się kopiowania, rozpowszechniania i udostępniania materiałów zawartych w Serwisie.

Serwis SOFIZMAT nie odpowiada za treść umieszczanych materiałów, grafik, komentarzy oraz wszelkich innych wpisów pochodzących od użytkowników serwisu.

Korzystanie z witryny www.SOFIZMAT.pl oznacza zgodę na wykorzystywanie
plików cookie, z których niektóre mogą być już zapisane w folderze przeglądarki.