Iloczyn skalarny

0:0
Iloczynem skalarnym nazywamy działanie na wektorach, które dwóm wektorom przyporządkowuje liczbę. Jest to więc dość nietypowe działanie. Zwykle jest tak, że jak wykonujemy działanie na obiektach matematycznych (liczbach, wektorach itd.) otrzymujemy obiekt tego samego rodzaju. Tu w wyniku otrzymujemy obiekt innego typu. A teraz czas na porządną definicję.




Definicja


Iloczynem skalarnym nazywamy działanie, które wektorom przyporządkowuje liczbę według wzoru
, gdzie długości wektorów.



Czasem wygodna jest notacja, w której wektory oznacza się pogrubioną czcionką, a ich długości kursywą.


Iloczyn skalarny ma następujące własności:

1. Przemienność


2. Rozdzielność mnożenia skalarnego względem dodawania wektorów


3. Dwuliniowość. Niech będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wtedy:


Łączność mnożenia skalarnego nie ma sensu.

Jeśli obie strony równości pomnożymy skalarnie przez wektor , to oczywiście równość będzie zachowana, natomiast z równości nie wynika, że wektory są równe.

Iloczyn wektora przez siebie daje kwadrat długości tego wektora.


Zatem


Bardzo istotną własnością tego działania jest to, że daje ono kryterium na prostopadłość wektorów: otóż niezerowe wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zero.

Niech .
Wynika to z definicji

Znajomość iloczynu skalarnego dwóch wektorów pozwala na obliczenie kąta między nimi.
Skoro
to .


Niech będzie wektorem o długości 1 (czyli wektorem jednostkowym).


Co otrzymamy mnożąc skalarnie przez ? . Jest to po prostu długość rzutu prostokątnego wektora na kierunek wektora .

W geometrii analitycznej iloczyn skalarny wyraża się przez współrzędne wektorów. Niech . Wtedy


W przestrzeni trójwymiarowej będzie to {/cen}.
Udowodnijmy to dla przestrzeni dwuwymiarowej.




Obliczmy


Z definicji funkcji trygonometrycznych mamy



Zatem


A stąd

Gotowe!

Za pomocą iloczynu skalarnego łatwo udowodnimy znany fakt, że proste są prostopadłe wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy –1. Zróbmy to.



Prosta ma równanie
Prosta ma równanie

Jeśli proste są prostopadłe, to również dowolne wektory równoległe do tych prostych są do siebie prostopadłe. Zatem ich iloczyn skalarny jest równy zero.













To właśnie mieliśmy udowodnić.

Podobne Następny

Nie jesteś zalogowany!

Inne materiały z tej kategorii

TESTY

Nie znaleziono żadnych materiałów.

ZADANIA

Nie znaleziono żadnych materiałów.

FILMY

Nie znaleziono żadnych materiałów.


Autorem "Iloczyn skalarny" jest Sławomir Jemielity.
Zabrania się kopiowania, rozpowszechniania i udostępniania materiałów zawartych w Serwisie.

Serwis SOFIZMAT nie odpowiada za treść umieszczanych materiałów, grafik, komentarzy oraz wszelkich innych wpisów pochodzących od użytkowników serwisu.

Korzystanie z witryny www.SOFIZMAT.pl oznacza zgodę na wykorzystywanie
plików cookie, z których niektóre mogą być już zapisane w folderze przeglądarki.