Zbiory. 2.05

Sławomir Jemielity, 2012-03-18, poziom: średni
0:0
Posługując się rysunkami sprawdź, czy prawdziwe są równości.
a)
b)



1. krok rozwiązania

W zadaniu jest mowa o dopełnieniu. W domyśle jest więc jakaś przestrzeń.
Nie wiemy jaka, bo i o zbiorach nic nie wiemy.
Przestrzeń będziemy rysować w postaci prostokąta.

a) Rysujemy lewą stronę równości Stopniowo.
To jest stan początkowy – zbiory oraz przestrzeń



Teraz narysujmy sumę zbiorów łącznie z

2. krok rozwiązania

I wreszcie dopełnienie sumy.

3. krok rozwiązania

A teraz równie spokojnie narysujemy prawą stronę równości.
Dopełnienie



Dopełnienie



Nakładamy te dwa rysunki, by zobaczyć jaka jest część wspólna dopełnień.



Rysujemy część wspólną.

4. krok rozwiązania



Jest to dokładnie to samo.

5. krok rozwiązania

b)

Ten punkt zrobimy dużo szybciej.
Strona lewa.

6. krok rozwiązania

Strona prawa.








To samo.

7. krok rozwiązania

Oczywiście rysunek niczego nie dowodzi, bo na rysunku można uwzględnić tylko jeden przypadek. A z jednego przypadku nie można wnioskować o prawdziwości twierdzenia w ogóle.
Czy da się te równości udowodnić? Jasne że się da. Weźmy pierwszą z równości.

Trzeba teraz sobie przypomnieć definicje sumy, części wspólnej i dopełnienia zbioru oraz prawa de Morgana – prawa logiki, które gdzieś w tej książeczce są, trzeba tylko poszukać.
Teraz będzie ciąg równoważności, które sobie przeanalizujcie. Zakładamy, że



Zatem

To z kolei oznacza, że

quod erat demonstrandum.
(Co to znaczy? Otóż, w najpiękniejszym języku świata – łacinie, oznacza to „co było do pokazania” – formułka kończąca dowód.)


To z rozpędu dowiedźmy jeszcze drugiej równości.



Zatem


To z kolei oznacza, że

quod erat demonstrandum..
Prawa rachunku zbiorów, które są przedmiotem niniejszego zadania, są zwane (co nie jest dziwne) prawami de Morgana.

Podobne Następny

Nie jesteś zalogowany!

Inne materiały z tej kategorii

KURSY


Zbiory
Sławomir Jemielity, 1
„Zbiór” to jedno z najważniejszych pojęć matematycznych. Nie ma definicji tego pojęcia, jest to zatem tzw. pojęcie pierwotne. Możemy jedynie określić je przy pomocy takich wyrazów bliskoznacznych jak „klasa”, „rodzina”, „mnogość”. To ostatnie sł...

Działnia na zbiorach.
Sławomir Jemielity, 1
Iloczyn zbiorów (część wspólna) Iloczyn zbiorów A i B to zbiór, składający się z tych elementów, które należą zarówno do A jak i do B. To działanie oznaczamy . Formalna definicja iloczynu zbiorów: Przykład: A = zbiór wszystkich trójkątów B =...


TESTY

Nie znaleziono żadnych materiałów.

FILMY

Nie znaleziono żadnych materiałów.


Autorem "Zbiory. 2.05" jest Sławomir Jemielity.
Zabrania się kopiowania, rozpowszechniania i udostępniania materiałów zawartych w Serwisie.

Serwis SOFIZMAT nie odpowiada za treść umieszczanych materiałów, grafik, komentarzy oraz wszelkich innych wpisów pochodzących od użytkowników serwisu.

Korzystanie z witryny www.SOFIZMAT.pl oznacza zgodę na wykorzystywanie
plików cookie, z których niektóre mogą być już zapisane w folderze przeglądarki.