Nierówność trójkąta 20.01

Grzegorz Pietrzak, 2012-05-07, poziom: trudny
0:0
Udowodnij, że jeśli są bokami trójkąta, to może istnieć także trójkąt o bokach i



1. krok rozwiązania

Co wiemy o ?
Ponieważ tworzą trójkąt, muszą to być liczby dodatnie, a także musi być dla nich spełniona nierówność trójkąta, tzn:






Do udowodnienia mamy nierówność:

Właściwie powinniśmy udowodnić jeszcze dwie nierówności (gdy w mianowniku po prawej stronie znajdzie się albo ), ale jeśli uda nam się bez założeń dotyczących wartości udowodnić tę nierówność, to prawdziwe będą także pozostałe dwie nierówności.
Można też powiedzieć inaczej - jeśli udowodnimy tę pierwszą nierówność, to udowodnimy także dwie pozostałe, postępując z nimi w sposób identyczny.

2. krok rozwiązania

Odwróćmy naszą nierówność:


Z nierówności możemy wywnioskować, że - uwaga, mogliśmy tak napisać ponieważ Nierówność ta wynika z faktu, że dla dodatnich wartości funkcja jest malejąca.

Mamy więc:

To oczywiście nie jest nasza pierwotna nierówność, ale jeśli ona jest prawdziwa, nasza nierówność tym bardziej jest prawdziwa.





Po lewej stronie mamy liczbę ujemną, po prawej - liczbę dodatnią. Na wypadek, gdyby ktoś miał wątpliwości, zrobię jeszcze kilka przekształceń:



Z prawdziwości powyższej nierówności (która to prawdziwość bezpośrednio wynika z faktu, że ) wynika prawdziwość wnioskowania:
Jeśli są bokami trójkąta, to może istnieć także trójkąt o bokach i

Podobne

Nie jesteś zalogowany!

Inne materiały z tej kategorii

KURSY

Nie znaleziono żadnych materiałów.

TESTY

Nie znaleziono żadnych materiałów.

FILMY

Nie znaleziono żadnych materiałów.


Autorem "Nierówność trójkąta 20.01" jest Grzegorz Pietrzak.
Zabrania się kopiowania, rozpowszechniania i udostępniania materiałów zawartych w Serwisie.

Serwis SOFIZMAT nie odpowiada za treść umieszczanych materiałów, grafik, komentarzy oraz wszelkich innych wpisów pochodzących od użytkowników serwisu.

Korzystanie z witryny www.SOFIZMAT.pl oznacza zgodę na wykorzystywanie
plików cookie, z których niektóre mogą być już zapisane w folderze przeglądarki.