Przewodniki. 5.07

Sławomir Jemielity, 2011-09-18, poziom: trudny
0:0
Udowodnij, że:
A. Potencjał wewnątrz naładowanego przewodnika w sytuacji statycznej jest stały.
B. Ładunek gromadzi się na powierzchni przewodnika.
C. Wektor natężenia pola na powierzchni przewodnika od jej zewnętrznej strony jest do niej prostopadły.
D. Jego wartość wynosi , gdzie  to powierzchniowa gęstość ładunku.



1. krok rozwiązania

To już było, ale repetitio est mater studiorum (co to znaczy?).
Najprzód udowodnijmy, że wewnątrz naładowanego przewodnika natężenie pola jest równe zeru.

Przypomnę, że ładunki (elektrony) mogą się w przewodniku swobodnie przemieszczać. Załóżmy (jako, że zajmujemy się elektrostatyką), że sytuacja jest statyczna, to znaczy ładunki nie poruszają się w uporządkowany sposób.
Co by było gdyby wewnątrz przewodnika natężenie pola było różne od zera? Na ładunki, które są wewnątrz przewodnika działałaby siła elektrostatyczna. Pod wpływem tej siły ładunki mające swobodę ruchu zaczęłyby się przemieszczać. Bez dopływu energii z zewnątrz w przewodniku płynąłby prąd elektryczny.
Natrafiliśmy więc na sprzeczność z zasadą zachowania energii, poza tym sytuacja wbrew założeniu nie byłaby statyczna. Jedynym wyjściem z takiej sytuacji jest wniosek, że wewnątrz przewodnika natężenie pola jest równe zeru.

Czyżby naładowany przewodnik nie wytwarzał pola elektrycznego? Wytwarza, ale na zewnątrz. Obecność pola na zewnątrz nie grozi sprzecznością z zasadą zachowania energii, bo na zewnątrz przewodnika nie ma ładunków.

Teraz przypominamy sobie wzór

Jest to związek między wartością natężenia pola a potencjałem.
Weźmy dwa dowolne punkty wewnątrz przewodnika odległe o . W naszym przypadku . Prowadzi to do wniosku, że również różnica potencjałów między wybranymi punktami jest równa zeru. Znaczy to że w jednym punkcie potencjał jest taki sam jak w drugim. Ale wybraliśmy da dowolne punkty wewnątrz przewodnika. Znaczy to, że w innych byłoby to samo. Zatem w każdym punkcie przewodnika potencjał jest taki sam. Jest stały wewnątrz całego przewodnika.

2. krok rozwiązania

B.
(To rozwiązanie opiera się na prawie Gaussa, którego już nie ma w programie – możesz to pominąć) By tego dowieść należy wykorzystać prawo Gaussa. Poprowadźmy wewnątrz przewodnika dowolną powierzchnię zamkniętą.


Strumień pola przez taką powierzchnię jest równy zero, bo natężenie pola w każdym punkcie przewodnika jest zerowe. Na podstawie prawa Gaussa można więc powiedzieć, że sumaryczny ładunek wewnątrz tej powierzchni jest równy zero. Nie oznacza to wcale, że ładunek jest na powierzchni. Może być tak, że jest on poza powierzchnią Gaussa, albo rozłożony tak, że wewnątrz powierzchni ładunki ujemne i dodatnie choć są rozseparowane w sumie dają zero a ten niezobojętniony ładunek jest poza powierzchnią. To weźmy większą powierzchnię.


Ale tu też strumień pola jest zerowy. sumaryczny ładunek wewnątrz takiej powierzchni też jest równy zeru. Nie będę rysował jeszcze większej powierzchni – argument pozostanie taki sam. Ale przecież ciało jest naładowane, gdzieś ten ładunek musi być! Jeżeli nie ma go wewnątrz to jest na powierzchni przewodnika.

3. krok rozwiązania

C.
Wewnątrz i na powierzchni przewodnika potencjał jest stały. Załóżmy, że jednostajnie przesuwamy jakiś ładunek po powierzchni przewodnika. Jaką pracę wykonamy?

Praca w czasie jednostajnego przesuwania w polu elektrycznym (i nie tylko) to przyrost energii potencjalnej. Energię potencjalną ładunku można wyrazić wzorem

Zatem

Ale

Więc

Z drugiej strony




Zarówno przesunięcie jak i siła (albo natężenie pola) są różne od zera. Zatem zerem musi być . Oznacza to, że kąt między przesunięciem a wektorem natężenia pola jest równy . Przemieszczenie odbywało się po powierzchni przewodnika, więc wektor natężenia pola jest prostopadły do tejże powierzchni. I tego właśnie należało dowieść.

4. krok rozwiązania

D.
(To rozwiązanie opiera się na prawie Gaussa, którego już nie ma w programie – możesz to pominąć) Znów użyjemy prawa Gaussa. Wybierzmy jakiś mały kawałeczek powierzchni przewodnika. I zobaczmy jakie jest natężenie pola w przestrzeni na zewnątrz przewodnika, ale bardzo blisko jego powierzchni. Należy wybrać powierzchnię Gaussa. Najlepsza chyba będzie taka jak na rysunku.


Policzmy strumień pola przez tę powierzchnię. Cała część znajdująca się wewnątrz przewodnika daje zerowy wkład, bo natężenie pola wewnątrz jest równe zeru. Strumień przez powierzchnię boczną też jest zerowy, bo kąt między wektorem natężenia pola a prostą prostopadłą do powierzchni jest równy .

I wreszcie strumień przez górne denko

Zgodnie z prawem Gaussa strumień jest równy ładunkowi zawartemu wewnątrz powierzchni podzielonemu przez przenikalność elektryczną próżni.


Ale to powierzchniowa gęstość ładunku. Mamy więc

Podobne Następny

Nie jesteś zalogowany!

Inne materiały z tej kategorii

KURSY


Pole elektryczne przewodników
Sławomir Jemielity, 1
Przewodniki charakteryzują się tym, że ładunki (niektóre) mają swobodę ruchu. Idealny przewodnik to taki, który nie stawia ruchowi ładunków żadnego oporu. Rozważmy dwa zagadnienia: pole naładowanego przewodnika i przewodnik w zewnętrznym polu e...


TESTY


Przewodniki. 5.01
Sławomir Jemielity, poziom: łatwy, 1

Przewodniki. 5.02
Sławomir Jemielity, poziom: łatwy, 1

Przewodniki. 5.03
Sławomir Jemielity, poziom: łatwy, 1

Przewodniki. 5.04
Sławomir Jemielity, poziom: łatwy, 1

Przewodniki. 5.05
Sławomir Jemielity, poziom: łatwy, 1

Przewodniki. 5.06
Sławomir Jemielity, poziom: łatwy, 1


FILMY


Młynek Franklina
Sławomir Jemielity, 1



Autorem "Przewodniki. 5.07" jest Sławomir Jemielity.
Zabrania się kopiowania, rozpowszechniania i udostępniania materiałów zawartych w Serwisie.

Serwis SOFIZMAT nie odpowiada za treść umieszczanych materiałów, grafik, komentarzy oraz wszelkich innych wpisów pochodzących od użytkowników serwisu.

Korzystanie z witryny www.SOFIZMAT.pl oznacza zgodę na wykorzystywanie
plików cookie, z których niektóre mogą być już zapisane w folderze przeglądarki.