Objętość stożka

0:0
Załóżmy, że wzór na objętość walca jest znany.

– promień walca
– wysokość walca


Wzór ten pozwoli nam uzyskać wzór na objętość stożka.

Wyobraźmy sobie, że wypełniamy stożek walcami, tak jak na poniższym rysunku. Oczywiście suma objętości walców jest mniejsza niż objętość stożka. Możemy jednak wypełnić stożek „szczelniej”. Jak?

Zwiększając liczbę walców, które przy okazji będą niższe. Gdy liczba walców będzie zmierzać do nieskończoności (a ich wysokość do zera), suma ich objętości będzie zmierzać do objętości stożka.



W przekroju wygląda to tak:



Wpiszmy walców. Ich wysokości będą równe . Ponumerujmy walce od 1 do licząc od dołu. Jakie będą ich promienie?








Należy obliczyć . Zrobimy to z podobieństwa trójkątów.



Zatem







Sumę objętości walców oznaczmy .


Podnieśmy do kwadratu wyrazy w nawiasie kwadratowym.

Przegrupujmy wyrazy w nawiasie kwadratowym.




- suma ciągu arytmetycznego
Ten wzór udowodnimy sobie przy innej okazji.



Taka jest objętość sumy walców. Objętość stożka otrzymamy licząc granicę tego wyrażenia przy dążącym do nieskończoności.


Jest!!!


Podobne Następny

Nie jesteś zalogowany!

Inne materiały z tej kategorii

TESTY

Nie znaleziono żadnych materiałów.

ZADANIA

Nie znaleziono żadnych materiałów.

FILMY

Nie znaleziono żadnych materiałów.


Autorem "Objętość stożka" jest Sławomir Jemielity.
Zabrania się kopiowania, rozpowszechniania i udostępniania materiałów zawartych w Serwisie.

Serwis SOFIZMAT nie odpowiada za treść umieszczanych materiałów, grafik, komentarzy oraz wszelkich innych wpisów pochodzących od użytkowników serwisu.

Korzystanie z witryny www.SOFIZMAT.pl oznacza zgodę na wykorzystywanie
plików cookie, z których niektóre mogą być już zapisane w folderze przeglądarki.