Średnia arytmetyczna, geometryczna i harmoniczna

0:0

Definicja




1) Średnia arytmetyczna dwóch liczb .


2) Średnia geometryczna liczb nieujemnych.


3) Średnia harmoniczna


Ogólnie:


Prawdziwe jest …

Twierdzenie



Dla dodatnich zachodzi:


Ogólny dowód jest trudny.
Łatwo dowodzi się tego twierdzenia dla dwóch liczb.
Liczby i są dodatnie, więc istnieją pierwiastki z tych liczb. Utwórzmy różnicę tych pierwiastków.

Znak tej różnicy jest oczywiście dowolny, ale jak podniesiemy ją do kwadratu to już musi być nieujemna.

Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia.



Zatem

Jeśli same te liczby odejmiemy i różnicę podniesiemy do kwadratu, otrzymamy liczbę nieujemną.









Wobec tego

Ostatecznie

Nierówność
możemy udowodnić geometrycznie.

Niech będą długościami odcinków.



Narysujmy półokrąg o średnicy .
Promień tego okręgu wynosi . I to jest średnia arytmetyczna.



W miejscu styku odcinków i narysujmy odcinek prostopadły do średnicy (czyli połączonych odcinków i ). Przetnie on okrąg w punkcie (następny rysunek) – mamy w ten sposób odcinek . Jeśli końce średnicy półokręgu połączymy z punktem otrzymamy trójkąt prostokątny, którego wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną jest właśnie odcinek .



Teraz przypomnijmy sobie pewną informację o trójkącie prostokątnym.



Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki o długości . Z podobieństwa trójkątów, na jakie wysokość dzieli ten trójkąt wynika proporcja:

Stąd
Zatem , czyli wysokość jest średnią geometryczną i .
Wracamy do półokręgu.
Z powyższego wynika, że długość jest średnią geometryczną ,. Widać gołym okiem, że mniejsze lub równe od promienia okręgu.




Na koniec przykład z fizyki w którym występują średnie arytmetyczna i harmoniczna.

Rozwiążmy dwa z pozoru identyczne zadania.

Zadanie 1.



W ciągu pierwszej połowy czasu swego ruchu samochód jechał z prędkością , a w ciągu drugiej połowy z prędkością . Oblicz średnią prędkość samochodu.

Rozwiązanie



Wielu z was mówiąc o średniej ma na myśli średnią arytmetyczną. Stąd biorą się bardzo częste błędy w tego typu zadaniach. Średnia prędkość nie oznacza wcale, że chodzi o średnią arytmetyczną. Licząc prędkość średnią należy całą przebytą drogę podzielić przez całkowity czas ruchu.

W naszym zadaniu ruch składa się z dwóch etapów. Załóżmy, że całkowity czas ruchu wynosi . Wtedy I etap trwający ma sługość . II etap trwający też ma długość . Całkowita przebyta droga to
.

Wobec tego średnia prędkość
.

Czyli jednak średnia arytmetyczna!

Zadanie 2.



Pierwszą połowę drogi samochód przejechał z prędkością , drugą zaś z prędkością . Jaka jest średnia prędkość samochodu na całej trasie?
Zobaczmy jakie średnie wystąpią w rozwiązaniach tych zadań.

Rozwiazanie



Przy nieuważnym czytaniu można odnieść wrażenie, że to zadanie niczym nie różni od poprzedniego. Różnica rzeczy-wiście na pierwszy rzut oka jest niewielka: tam była mowa o połowie czasu, tu - o połowie drogi. Wyniki będą jednak zupełnie różne. Startujemy oczywiście z definicji prędkości średniej. Trasa podzielona jest na dwa etapy, owe dwie połowy, przebywane z różnymi prędkościami, a więc i czasy jazdy nie będą jednakowe. Oznaczmy je przez t1 i t2. Prędkość średnia będzie, zgodnie z definicją, równa:
.

Widzicie jakie są tu problemy: 1) nie znamy długości trasy , 2) nie wiemy jak czasy wyrażają się przez prędkości .
Wiemy jednak, że na dwóch odcinkach drogi ruch jest jednostajny, więc prędkość to droga/czas.


Obliczone przed chwilą czasy podstawiamy do wzoru na prędkość średnią. Otrzymujemy:

Trochę to skomplikowane, a poza tym ciągle występuje tu niewiadoma ! Bystrzejsi z was zauważyli pewnie, że osią-gnęliśmy jednak cel. Wyłączmy w mianowniku przed nawias. Co się dzieje? się skraca!

Otrzymaliśmy średnią harmoniczną!


Teraz możemy podstawić wartości prędkości:


Jak widać wartość prędkości średniej w tym zadaniu jest mniejsza niż w poprzednim. Jest to zgodne z nierównością

Podobne Następny

Nie jesteś zalogowany!
Grzegorz Pietrzak, 2011-10-20, 19:18
Na szczęście nie treść...
Dzięki za zwrócenie uwagi.
Darek Kowalski, 2011-10-20, 18:35
Coś się obcięło.

Inne materiały z tej kategorii

TESTY

Nie znaleziono żadnych materiałów.

ZADANIA

Nie znaleziono żadnych materiałów.

FILMY

Nie znaleziono żadnych materiałów.


Autorem "Średnia arytmetyczna, geometryczna i harmoniczna" jest Sławomir Jemielity.
Zabrania się kopiowania, rozpowszechniania i udostępniania materiałów zawartych w Serwisie.

Serwis SOFIZMAT nie odpowiada za treść umieszczanych materiałów, grafik, komentarzy oraz wszelkich innych wpisów pochodzących od użytkowników serwisu.

Korzystanie z witryny www.SOFIZMAT.pl oznacza zgodę na wykorzystywanie
plików cookie, z których niektóre mogą być już zapisane w folderze przeglądarki.