Prawo Coulomba. 1.07

Sławomir Jemielity, 2011-09-18, poziom: trudny
0:0
Trzy ładunki o wartości każdy umieszczono w wierzchołkach trójkąta równobocznego. Jaki ładunek należy umieścić w środku tego trójkąta, by układ pozostawał w spoczynku?



1. krok rozwiązania

Trzy jednoimienne ładunki niezależnie od tego jak ustawione, nigdy nie będą równowadze, bo się odpychają. Trzeba jakoś te siły zrównoważyć. W treści zadania proponują umieścić ładunek, domyślamy się, że przeciwnego znaku, w środku trójkąta. Czy wtedy równowaga będzie możliwa? Popatrzmy na rysunek.


Na każdy z ładunków w wierzchołku trójkąta działają takie same siły, bo wszystkie są w jednakowej sytuacji. Te siły to:

2. krok rozwiązania

- siły odpychania ze strony ładunków w wierzchołkach
- siła przyciągania ze strony ładunku .
Można mieć nadzieję, że takie siły przy umiejętnym dobraniu ładunku zrównoważą się. Aby była równowaga, wypadkowa sił i musi mieć taką samą wartość i kierunek ale przeciwny zwrot niż . Pozostaje jednak problem, czy w równowadze pozostanie . Jeżeli nie, to przesunięcie spowoduje rychłą utratę równowagi przez resztę ładunków. Na ten ładunek działają takie siły (są to siły przyciągające)


Jest chyba oczywiste, że jeśli położenie w trójkącie jest centralne, to siły te są równe. Rzeczywiście: odległości od poszczególnych ładunków są jednakowe, same ładunki też; nie ma powodu, by wartości tych sił były różne. Poza tym wektory tych sił są położone tak, że ich wypadkowa jest równa zero. Dlaczego?

3. krok rozwiązania

Dygresja o dodawaniu pewnych układów wektorów.


Niech dany będzie układ wektorów o wspólnym początku i końcach położonych w wierzchołkach wielokąta foremnego (mam nadzieję, że wiecie co to jest). Twierdzę, że suma takich wektorów jest równa zero.


Zauważcie, że w każdym takim przypadku (widać to na rysunku) istnieje taki kąt, że gdy układ obrócimy o taki kąt, to układ się nie zmieni. Nie jesteśmy na przykład odróżnić układu sześciokątnego z powyższego rysunku przed i po obrocie o kąt . Skoro układ się nie zmienia to i suma tych wektorów nie powinna się zmienić. Ale z drugiej strony przecież obracaliśmy. Gdyby dowolny układ wektorów obrócić to i ich suma obróciłaby się. Jakiż to wektor nie zmienia się gdy obrócimy go wokół początku? Jest to oczywiście wektor zerowy. Wniosek: suma takich wektorów jest równa wektorowi zerowemu.

Koniec dygresji.

4. krok rozwiązania

Siła działająca na ładunek jest równa zero. Jest on w równowadze niezależnie od swej wartości.
Wróćmy do ładunków . Jak już powiedziałem, wypadkowa sił i musi mieć taką samą wartość i kierunek ale przeciwny zwrot niż . Narysuję wypadkową i .


Po uważnym przyjrzeniu się rysunkowi napiszemy

5. krok rozwiązania

Jak będziemy postępować dalej? Obliczymy siłę wypadkową , co wymaga policzenia siły . Wyliczymy siłę . Następnie przyrównamy do siebie i , jak już dwukrotnie to mówiłem. Otrzymamy równanie, z którego, miejmy nadzieję, dostaniemy szukany ładunek .
Z siłą nie powinno być kłopotów. Jest to siła elektrostatycznego odpychania dwu ładunków o wartości , z odległości... A no właśnie, nie znamy rozmiarów trójkąta. Załóżmy, że bok trójkąta ma długość a i na razie nie przejmujmy się jego nieznajomością. Siła wyniesie

Wypadkowa siła odpychająca działająca na dowolny ładunek ze strony dwóch pozostałych jest więc równa

Teraz policzmy . Jest to siła przyciągająca między i . Jaka jest odległość między nimi. Wróćcie do pierwszego rysunku. Jest to odległość między środkiem i wierzchołkiem trójkąta równobocznego, albo inaczej mówiąc, promień okręgu opisanego na trójkącie. Jest to więc dwie trzecie jego wysokości.


Zatem

Teraz dawno zapowiadana równość sił

6. krok rozwiązania





Osiągnęliśmy cel.
Może nieco was zdziwi, że ładunek ten nie zależy od rozmiarów trójkąta. Do zrównoważenia takiego układu ładunków potrzebny jest taki sam ładunek , niezależnie od tego, czy trójkąt ma wielkość jednego milimetra, czy jest rozmiarów Układu Słonecznego.
Podobne zadanie można rozwiązać dla ładunków ustawionych w wierzchołkach innych wielokątów foremnych, na przykład kwadratu.
Na koniec pytanie: czy ta równowaga jest trwała? Można udowodnić (nie jest to dowód na poziomie liceum), że trwała równowaga cząstek działających na siebie siłami elektrostatycznymi jest niemożliwa. Dlaczego więc to wszystko co nas otacza (a są to przecież skomplikowane układy ładunków różnych znaków) trzyma się kupy, oto jest pytanie...

Podobne Następny

Nie jesteś zalogowany!

Inne materiały z tej kategorii

KURSY


Ładunek
Sławomir Jemielity, 1
Czym zajmuje się elektrostatyka? Najkrócej mówiąc zjawiskami wywołanymi przez spoczywające ładunki elektryczne. To wyjaśnienie ma jednak tę wadę, że niewiele wyjaśnia. Tak to już jest, że na pytanie czym zajmuje się dana dziedzina wiedzy można s...

Prawo Coulomba
Sławomir Jemielity, 1
Prawo Coulomba Henry Cavendish Charles Augustin de Coulomb Aparatura Coulomba, która posłużyła do odkrycia jego prawa Cząstki naładowane mają to do siebie, że działają na siebie siłami. Jakie są wartości sił elektrostatycznych? Od czego te...


TESTY


Prawo Coulomba. 1.01.
Sławomir Jemielity, poziom: łatwy, 1

Prawo Coulomba. 1.02.
Sławomir Jemielity, poziom: łatwy, 1

Prawo Coulomba. 1.03.
Sławomir Jemielity, poziom: łatwy, 1

Prawo Coulomba. 1.04.
Sławomir Jemielity, poziom: łatwy, 1

Prawo Coulomba. 1.05.
Sławomir Jemielity, poziom: łatwy, 1


FILMY


Tenis elektrostatyczny
Kamil Frydlewicz, 1



Autorem "Prawo Coulomba. 1.07" jest Sławomir Jemielity.
Zabrania się kopiowania, rozpowszechniania i udostępniania materiałów zawartych w Serwisie.

Serwis SOFIZMAT nie odpowiada za treść umieszczanych materiałów, grafik, komentarzy oraz wszelkich innych wpisów pochodzących od użytkowników serwisu.

Korzystanie z witryny www.SOFIZMAT.pl oznacza zgodę na wykorzystywanie
plików cookie, z których niektóre mogą być już zapisane w folderze przeglądarki.